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Le nombre d'or
                                            ou divine proportion est désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre irrationnel
phi

      ou, avec 5000 décimales: 1.618033988 749894848 204586834 365638117 720309179 805762862 135448622 705260462 81890244970 7207204 189391137 484754088 075386891 752126633 862223536 931793180 060766726 354433389 086595939 582905638 322661319 928290267 880675208 766892501 711696207 032221043 216269548 626296313 614438149 758701220 340805887 954454749 246185695 364864449 241044320 771344947 049565846 788509874 339442212 544877066 478091588 460749988 712400765 217057517 978834166 256249407 589069704 000281210 427621771 117778053 153171410 117046665 991466979 873176135 600670874 807101317 952368942 752194843 530567830 022878569 978297783 478458782 289110976 250030269 615617002 504643382 437764861 028383126 833037242 926752631 165339247 316711121 158818638 513316203 840052221 657912866 752946549 068113171 599343235 973494985 090409476 213222981 017261070 596116456 299098162 905552085 247903524 060201727 997471753 427775927 786256194 320827505 131218156 285512224 809394712 341451702 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      Ce nombre est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes. Il est déterminé par une proportion :
      Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout. (Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère).
Exemple: soit a et b les 2 grandeurs
a/b = (a + b) / a. ou a/b = 1 + b/a
      Prenons comme variable x = a/b.
Donc x = 1 + 1/x ou x - 1 - 1/x = 0
      x est non nul, donc x2 - x - 1 = 0 ui admet comme racine positive x = que nous notons F et vaut à peu près 1,618.... C'est le nombre d'or De nombreuses figures géométriques utilisant le nombre d’or sont présentes dans l’Egypte ancienne.
      On le trouve également dans la construction de la pyramide de Khéops, construite en 2600 avant JC, pour recevoir le corps du souverain Khéops. Elle mesure 146,60 m de haut et 231 m de côté. Le rapport entre l’apothème (187m) et le demi-côté (115m) est égal à 1,6 environ.
      Selon Hérodote la pyramide de Khéops de base carrée, dont les surfaces latérales sont des triangles isocèles, possède la propriété suivante: «Les surfaces latérales triangulaires ont une aire égale à celle du carré construit sur la hauteur de la pyramide»

      Dans 'les Eléments' d’Euclide, le nombre d’or apparaît comme un nombre irrationnel, la plupart de ses propriétés géométriques y sont présentées.
théorie des proportions et en particulier le partage d'un segment AC en moyenne et extrême raison. Cela signifie que l'on cherche le point B du segment AC tel que: AC/AB=AB/AC
ou encore : la longueur totale AC rapportée à la longueur du grand segment AB est dans la même proportion que celle du grand segment AB par rapport au petit BC.
A B C I______________I_________I

pentagone

      Construisons un carré ACDF et I le milieu de FD.
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle AFI et nous obtenons que : AI=rac(5)/2.
Reportons cette longueur AI en AH et soustrayons AI nous obtenons alors AB=rac(5)/2-1/2.
Il s'en suit d'après ce qui précède que AC/AB=phi=le nombre d'or. B divise AC dans la section dorée ou encore la divine proportion













      Le Parthénon a été construit entre 447 et 432 avant JC sous la direction de Périclès. Sa façade s'inscrit dans un Rectangle d'Or : Le rapport de sa longueur par sa largeur vaut 1,618 soit le nombre d'or phi et donne toute sa majesté à ce temple magnifique.

      Au Moyen Age, Fibonacci, né en 1180, rédigea un traité: le Liber Abaci, dans lequel apparaît une série (suite de nombres) qui conduit au nombre d’or.

      De nombreuses églises de style roman, datant du 11ème et 12ème siècles, construites dans le diocèse de Clermont, comptent parmi les plus originales de l'art français et frappent par l'unité de leur style. Construites sur le même type, ce sont les églises 'Notre Dame du Port' de Clermont-Ferrand, d'Issoire, d'Orcival et de Saint-Nectaire.

      Sur ce plan, on voit la divergence des murs de la nef par rapport à l'alignement de ses piliers, ainsi que la légère désaxation sud du transept (carré jaune) et du chevet.
"a" est la demi-diagonale du carré.
      Les différents rayons tracés à partir du centre du carré du transept ont pour longueurs successives : "a" multiplié par "Phi" , "a" multiplié par "Phi" au carré, "a" multiplié par "Phi" au cube, "a" multiplié par "Phi" à la puissance 4.
      On passe donc de l'un à l'autre en le multipliant par le Nombre d'Or : 1,618. Mathématiquement, on dit qu'ils sont en progression géométrique.
pentagone     image pentagone

      L' icosaèdre et le dodécaèdre dessinés par Léonard de Vinci pour illustrer le "De Divina Proportione" de Fra Luca Pacioli.

      L'icosaèdre (1558) est un polyèdre à 20 faces.
      Il est régulier quand ses faces sont des triangles équilatéraux égaux entre eux. Il s'inscrit dans une sphère.

      Le dodécaèdre (1557) est un solide limité par douze pentagones. Il est régulier lorsque les faces sont égales.


      Les architectes qui ont voulu utiliser le nombre d’or dans leurs constructions, ou les peintres dans leurs tableaux, ont utilisé le compas de proportion pour obtenir des rapports égaux.
      Les deux branches du compas sont égales et sont fixées au rapport "Phi" (1,618).
      Grâce à la molette, on règle le compas de proportion de façon que le rapport compris entre la distance qui sépare les deux pointes inférieures et celle qui sépare les deux pointes supérieures égale le Nombre d'Or (1,618).
pentagone 
      Dans la nature, on retrouve également le nnombre d'or:
- La disposition des pétales d'une fleur
- le coeur de certaines fleurs
- les écailles d'un ananas ou d'une pomme de pin
- l’agencement des branches sur une tige
- la forme d'un coquillage


Le pentagone:
pentagone le rapport AC / AB = Phi autre pentagone